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今天下午，老師照例發(fā)了一張?jiān)嚲怼Ｆ渲杏幸坏篮茈y的題，我想了半天也沒(méi)想出個(gè)所以然，這道題是這樣的： 有一個(gè)長(zhǎng)方體，正面和上面的兩個(gè)面積的積為209平方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)。求它的體積。 我見(jiàn)了，心想：這道題還真是難啊！已知的只有兩個(gè)面面積的積，要求體積還必須知道長(zhǎng)、寬、高，而它一點(diǎn)也沒(méi)有提示。這可怎么入手啊！ 正當(dāng)我急得抓耳撓腮之際，碼御襪我媽媽的一個(gè)同事來(lái)了。他先教我用方程的思路去解，可是我對(duì)方程這種方法還不是很熟悉。于是，他拆和又教我另一種方法：先列出數(shù)，再逐一排除。我們先按題目要求列出了許多數(shù)字，如：3、5、7、11等一類的質(zhì)數(shù)，接著我們開(kāi)始排除，然后我們發(fā)現(xiàn)只剩下11和19這遲激兩個(gè)數(shù)字。這時(shí)，我想：這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是題中長(zhǎng)方體正面，上面公用的棱長(zhǎng)；一個(gè)則是長(zhǎng)方體正面，上面除以上一條外另一條 棱長(zhǎng)（且長(zhǎng)度都為質(zhì)數(shù)）之和。于是，我開(kāi)始分辯這兩個(gè)數(shù)各是哪個(gè)數(shù)。 最后，我得到了結(jié)果，為374立方厘米。我的算式是：209＝11×19
19＝2＋17
11×2×17＝374（立方厘米） 后來(lái)，我又用我本學(xué)期學(xué)過(guò)的知識(shí)：分解質(zhì)因數(shù)驗(yàn)算了這道題，結(jié)果一模一樣。 解出這道題后，我心里比誰(shuí)都高興。我還明白了一個(gè)道理：數(shù)學(xué)充滿了奧秘，等待著我們?nèi)ヌ角蟆?/p>
【容易忽略的答案】
大千世界，無(wú)奇不有，在我們數(shù)學(xué)王國(guó)里也有許多有趣的事情。比如，在我現(xiàn)在的第九冊(cè)的練習(xí)冊(cè)中，有一題思考題是這樣說(shuō)的：“一輛客車從東城開(kāi)向西城，每小時(shí)行45千米，行了2.5小時(shí)后停下，這時(shí)剛好離東西兩城的中點(diǎn)18千米，東西兩城相距多少千米？王星與小英在解上面這道題時(shí)，計(jì)算的方法與結(jié)果都不一樣。王星算出銷帆的千米數(shù)比小英算出的千米數(shù)少，但是許老師卻說(shuō)兩人的結(jié)果都對(duì)。這是為什么呢？你想出來(lái)了沒(méi)有？你也列式算一下他們兩人的計(jì)算結(jié)果。”其實(shí)，這道題我們可以很快速地做出一種方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔細(xì)推敲看一下，就覺(jué)得不對(duì)勁。其實(shí)，在這里我們忽略了一個(gè)非常重要的條件，就是“這時(shí)剛好離東西城的中點(diǎn)18千米”這個(gè)條件中所說(shuō)的“離”字，沒(méi)說(shuō)是還沒(méi)到中點(diǎn)，還是超過(guò)了中點(diǎn)。如果是沒(méi)到中點(diǎn)離中點(diǎn)18千米的話，列式就是前面的那一種，如果是超過(guò)中點(diǎn)18千米的話，皮衫列式應(yīng)該就是45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正確答案應(yīng)該是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）虧握雹。兩個(gè)答案，也就是說(shuō)王星的答案加上小英的答案才是全面的。
在日常學(xué)習(xí)中，往往有許多數(shù)學(xué)題目的答案是多個(gè)的，容易在練習(xí)或考試中被忽略，這就需要我們認(rèn)真審題，喚醒生活經(jīng)驗(yàn)，仔細(xì)推敲，全面正確理解題意。否則就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的錯(cuò)誤。
可以自己刪減刪減。
數(shù)學(xué)論文
一、數(shù)學(xué)技能的含義及作用
技能是順利完成某種任務(wù)的一種動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它是一種接近自動(dòng)化的、復(fù)雜而較為完善的動(dòng)作，是通過(guò)有目的、有計(jì)劃的練習(xí)而形成的。數(shù)學(xué)技能是順利完成某種數(shù)學(xué)任務(wù)的動(dòng)作或心智活動(dòng)方式。它通常表現(xiàn)為完成某一數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)所必需的一系列動(dòng)作的協(xié)調(diào)和活動(dòng)方式的自動(dòng)化。這種協(xié)調(diào)的動(dòng)作和自動(dòng)化的活動(dòng)方式是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)而形成的。如學(xué)習(xí)有關(guān)乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計(jì)算技能，就是在掌握其運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上通過(guò)多次的實(shí)際計(jì)算而形成的。數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)上的區(qū)別。它們的區(qū)別主要表現(xiàn)為：技能是對(duì)動(dòng)作和動(dòng)作方式的概括，它反映的是動(dòng)作本身和活動(dòng)方式的熟練程度；知識(shí)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的概括，它反映的是人們對(duì)事物和事物之間相互聯(lián)系的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)；能力是對(duì)保證活動(dòng)順利完成的某些穩(wěn)定的心理特征的概括，它所體現(xiàn)的是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中反映出來(lái)的個(gè)體特征。三者之間的聯(lián)系，可以比較清楚地從數(shù)學(xué)技能的作用中反映出來(lái)。
數(shù)學(xué)技能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用可概括為以下幾個(gè)方面：
第一，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握；
第二，數(shù)學(xué)技能的形成可以進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)；
第三，數(shù)學(xué)技能的形成有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決；
第四，數(shù)學(xué)技能的形成可以促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展；
第五，數(shù)學(xué)技能的形成有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；
第六，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性。
二、數(shù)學(xué)技能的分類
小學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，按照其本身的性頌空質(zhì)和特點(diǎn)，可以分為操作技能（又叫做動(dòng)作技能）和心智技能（也叫做智力技能）兩種類型。
l．?dāng)?shù)學(xué)操作技能。操作技能是指實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)任務(wù)活動(dòng)方式的動(dòng)作主要是通過(guò)外部機(jī)體運(yùn)動(dòng)或操作去完成的技能。它是一種由各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的程序連貫而成的外部操作活動(dòng)方式。如學(xué)生在利用測(cè)量測(cè)量角的度數(shù)、測(cè)量物體的長(zhǎng)度，用作圖畫幾何圖形等活動(dòng)中所形成的技能就是這種外部操作技能。操作技能具有有別于心智技能的一些比較明顯的特點(diǎn)：一是外顯性，即操作技能是一種外顯的活動(dòng)方式；二是客觀性，是指操作技能活動(dòng)的對(duì)象是物質(zhì)性的客體或肌肉；王是非簡(jiǎn)約性，就動(dòng)作的結(jié)構(gòu)而言，操作技能的每個(gè)動(dòng)作都必須實(shí)施，不能省略和合并，是一種展開(kāi)性的活動(dòng)程序。如用圓規(guī)畫圓，確定半徑、確定圓心、圓規(guī)一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周等步驟，既不能省略也不能合并，必須詳盡地展開(kāi)才能完成的任務(wù)。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能是指順利完成數(shù)學(xué)任務(wù)的心智活動(dòng)方式。它是一種借助于內(nèi)部言語(yǔ)進(jìn)行的認(rèn)知活動(dòng)，包括感知、記憶、思維和想象等心理成分，并且以思維為其主要活動(dòng)成分。如小學(xué)生在口算、筆算、解方程和解答應(yīng)用題等活動(dòng)中形成的技能更多地是一些數(shù)學(xué)心智技能。數(shù)學(xué)心智技能同樣是經(jīng)過(guò)后天的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練而形成的，它不同于人的本能。另外，數(shù)學(xué)心智技能是一種合乎法則的心智活動(dòng)方式，“所謂合乎法則的活動(dòng)方式是指活動(dòng)的動(dòng)作構(gòu)成要素及其次序應(yīng)體現(xiàn)活動(dòng)本身的客觀法則的要求，而不是任意的”。這些特性，反映了數(shù)學(xué)心智技能和數(shù)學(xué)操作技能的共性。數(shù)學(xué)心智技能作為一種以思維為主要活動(dòng)成分的認(rèn)知活動(dòng)方式，它也有著區(qū)別于數(shù)學(xué)操作技能的個(gè)性特征，這些特征主要反映在以下三個(gè)方面。
第一，動(dòng)作對(duì)象的觀念性。數(shù)學(xué)心智技能的直接對(duì)象不是具有物質(zhì)形式的客體本身，而是這種客體在人們頭腦里的主觀映象。如20以內(nèi)退位減法的口算，其心智活動(dòng)的直接對(duì)象是“想加法算減法”或其他計(jì)算方法的觀念，而非某種物質(zhì)化的客體。
第二，動(dòng)作實(shí)賀櫻返施過(guò)程的內(nèi)隱性。數(shù)學(xué)心智技能的動(dòng)作是借助禪饑內(nèi)部言語(yǔ)完成的，其動(dòng)作的執(zhí)行是在頭腦內(nèi)部進(jìn)行的，主體的變化具有很強(qiáng)的內(nèi)隱性，很難從外部直接觀測(cè)到。如口算，我們能夠直接了解到的是通過(guò)學(xué)生的外部語(yǔ)言所反映出來(lái)的計(jì)算結(jié)果，學(xué)生計(jì)算時(shí)的內(nèi)部心智活動(dòng)動(dòng)作是無(wú)法看到的。
第三，動(dòng)作結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)縮性。數(shù)學(xué)心智技能的動(dòng)作不像操作活動(dòng)那樣必須把每一個(gè)動(dòng)作都完整地做出來(lái)，也不像外部言語(yǔ)那樣對(duì)每一個(gè)動(dòng)作都完整地說(shuō)出來(lái)，它的活動(dòng)過(guò)程是一種高度壓縮和簡(jiǎn)化的自動(dòng)化過(guò)程。因此，數(shù)學(xué)心智技能中的動(dòng)作成分是可以合并、省略和簡(jiǎn)化的。如20以內(nèi)進(jìn)位加法的口算，學(xué)生熟練以后計(jì)算時(shí)根本沒(méi)有去意識(shí)“看大數(shù)”、“想湊數(shù)”、“分小數(shù)”、“湊十”等動(dòng)作，整個(gè)計(jì)算過(guò)程被壓縮成一種脫口而出的簡(jiǎn)略性過(guò)程。
三、數(shù)學(xué)技能的形成過(guò)程
1．?dāng)?shù)學(xué)操作技能的形成過(guò)程。
數(shù)學(xué)操作技能作為一種外顯的操作活動(dòng)方式，它的形成大致要經(jīng)過(guò)以下四個(gè)基本階段。
（1）動(dòng)作的定向階段。這是操作技能形成的起始階段，主要是學(xué)習(xí)者在頭腦里建立起完成某項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)的操作活動(dòng)的定向映象。包括明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，激起學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，了解與數(shù)學(xué)技能有關(guān)的知識(shí)，知道技能的操作程序和動(dòng)作要領(lǐng)以及活動(dòng)的最后結(jié)果等內(nèi)容。概括起來(lái)講，這一階段主要是了解“做什么”和“怎樣做”兩方面的內(nèi)容。如畫角，這一階段主要是了解需畫一個(gè)多少度的角（即知道做什么）和畫角的步驟（即怎么做），以此給畫角的操作活動(dòng)作出具體的定向。動(dòng)作定向的作用是在頭腦里初步建立起操作的自我調(diào)節(jié)機(jī)制；通過(guò)對(duì)“做什么”和“怎么做”的了解而明確實(shí)施數(shù)學(xué)活動(dòng)的程序與步驟，從而保證在操作中更好地掌握其動(dòng)作的活動(dòng)方式。
（2）動(dòng)作的分解階段。這是操作技能進(jìn)入實(shí)際學(xué)習(xí)的最初階段，其作法是把某項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的全套動(dòng)作分解成若干個(gè)單項(xiàng)動(dòng)作，在老師的示范下學(xué)生依次模仿練習(xí)，從而掌握局部動(dòng)作的活動(dòng)方式。如用圓規(guī)按照給定的半徑畫圓，在這一階段就可把整個(gè)操作程序分解成三個(gè)局部動(dòng)作：①把圓規(guī)的兩腳張開(kāi)，按照給定的半徑定好兩腳間的距離；②把有針尖的一腳固定在一點(diǎn)上，確定出圓心；③將有鉛筆尖的一腳繞圓心旋轉(zhuǎn)一周，畫出圓。通過(guò)對(duì)這三個(gè)具有連續(xù)性的局部動(dòng)作的依次練習(xí)，即可掌握畫圓的要領(lǐng)。學(xué)生在這一階段學(xué)習(xí)的方式主要是模仿，一方面根據(jù)老師的示范進(jìn)行模仿；另一方面也可以根據(jù)有關(guān)操作規(guī)則的文字描述進(jìn)行模仿，如根據(jù)幾何作圖規(guī)則對(duì)各個(gè)動(dòng)作活動(dòng)方式的表述進(jìn)行模仿。模仿不一定都是被動(dòng)的和機(jī)械的，“模仿可以是有意的和無(wú)意的；可以是再造性的，也可以是創(chuàng)造性的。”②模仿是數(shù)學(xué)操作技能形成的一個(gè)不可缺少的條件。
（3）動(dòng)作的整合階段。在這一階段，把前面所掌握的各個(gè)局部動(dòng)作按照一定的順序連接起來(lái)，使其形成一個(gè)連貫而協(xié)調(diào)的操作程序，并固定下來(lái)。如畫圓，在這一階段就可將三個(gè)步驟綜合起來(lái)形成一體化的操作。這時(shí)由于局部動(dòng)作之間尚處在銜接階段，所以動(dòng)作還難以維持穩(wěn)定性和精確性，動(dòng)作中的某些環(huán)節(jié)在銜接時(shí)甚至還會(huì)出現(xiàn)停頓現(xiàn)象。不過(guò)，總的來(lái)講這一階段動(dòng)作之間的相互干擾逐步得到排除，操作過(guò)程中的多余動(dòng)作也明顯減少，已形成完整而有序的動(dòng)作。
（4）動(dòng)作的熟練階段。這是操作技能形成的最后階段，在這一階段通過(guò)練習(xí)而形成的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式能適應(yīng)各種變化情況，其操作表現(xiàn)出高度完善化的特點(diǎn)。動(dòng)作之間相互干擾和不協(xié)調(diào)的現(xiàn)象完全消除，動(dòng)作具有高度的正確性和穩(wěn)定性，并且不管在什么條件下全套動(dòng)作都能流暢地完成。如這時(shí)的畫圓，不需要意志控制就能順利地完成全套動(dòng)作，并且能充分保證其正確性。上述分析表明，數(shù)學(xué)操作技能的形成要經(jīng)過(guò)“定向→分解→整合→熟練”的發(fā)展過(guò)程。在這一過(guò)程中每一個(gè)發(fā)展階段都有自己的任務(wù)：定向階段的主要任務(wù)是掌握操作的結(jié)構(gòu)和每一個(gè)步驟操作的要領(lǐng)；分解階段的主要任務(wù)是對(duì)活動(dòng)的操作系列進(jìn)行分解，并逐一模仿練習(xí)；整合階段的主要任務(wù)是在動(dòng)作之間建立聯(lián)系，使活動(dòng)協(xié)調(diào)一體化；熟練階段的任務(wù)則主要是使整個(gè)操作過(guò)程高度完善化和自動(dòng)化。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能的形成過(guò)程。
關(guān)于數(shù)學(xué)心智技能形成過(guò)程的研究，人們比較普遍地采用了原蘇聯(lián)心理學(xué)家加里培林的研究成果。加里培林認(rèn)為，心智活動(dòng)是一個(gè)從外部的物質(zhì)活動(dòng)到內(nèi)部心智活動(dòng)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，既內(nèi)化的過(guò)程。據(jù)此，在這里我們把小學(xué)生數(shù)學(xué)心智技能的形成過(guò)程概括為以下四個(gè)階段。
（1）活動(dòng)的認(rèn)知階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的認(rèn)知準(zhǔn)備階段，主要是讓學(xué)生了解并記住與活動(dòng)任務(wù)有關(guān)的知識(shí)，明確活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果，在頭腦里形成活動(dòng)本身及其結(jié)果的表象。如學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算技能，在這一步就是讓學(xué)生回憶并記住除法商不變性質(zhì)和除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則等知識(shí)，在此基礎(chǔ)上明確計(jì)算的程序和每一步計(jì)算的具體方法，以此在頭腦里形成除數(shù)是小數(shù)除法計(jì)算過(guò)程的表象。認(rèn)知階段實(shí)際上也是一種心智活動(dòng)的定向階段，通過(guò)這一階段，學(xué)習(xí)者可以建立起進(jìn)行數(shù)學(xué)心智活動(dòng)的初步自我調(diào)節(jié)機(jī)制，為后面順利進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)提供內(nèi)部控制條件。這一階段的主要任務(wù)是在頭腦里確定心智技能的活動(dòng)程序，并讓這種程序的動(dòng)作結(jié)構(gòu)在頭腦里得到清晰的反映。
（2）示范模仿階段。這是數(shù)學(xué)心智活動(dòng)方式進(jìn)入具體執(zhí)行過(guò)程的開(kāi)始，這一階段學(xué)生把在頭腦里已初步建立起來(lái)的活動(dòng)程序計(jì)劃以外顯的操作方式付諸執(zhí)行。不過(guò)，這種執(zhí)行通常是在老師指導(dǎo)示范下進(jìn)行的，老師的示范通常是采用語(yǔ)言指導(dǎo)和操作提示相結(jié)合的方式進(jìn)行的，即在言語(yǔ)指導(dǎo)的同時(shí)呈現(xiàn)活動(dòng)過(guò)程中的某些步驟。如計(jì)算乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法時(shí)，一方面根據(jù)運(yùn)算法則指導(dǎo)運(yùn)算步驟；另一方面在表述運(yùn)算規(guī)定的同時(shí)重點(diǎn)示范用乘數(shù)十位上的數(shù)去乘被乘數(shù)所得的部分積的對(duì)位，以此讓學(xué)生在老師的幫助、指導(dǎo)下順利地掌握兩位數(shù)乘多位數(shù)計(jì)算的活動(dòng)方式。在這一階段，學(xué)生活動(dòng)的執(zhí)行水平還比較低，通常停留在物質(zhì)活動(dòng)和物質(zhì)化活動(dòng)的水平上。“所謂物質(zhì)活動(dòng)是指動(dòng)作的客體是實(shí)際事物，所謂物質(zhì)化活動(dòng)是指活動(dòng)不是借助于實(shí)際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學(xué)具，乃至圖畫、圖解、言語(yǔ)等進(jìn)行的”。③如解答復(fù)合應(yīng)用題，在這一步學(xué)生通常就是借助線段圖進(jìn)行分析題中數(shù)量關(guān)系的智力活動(dòng)的。
（3）有意識(shí)的言語(yǔ)階段。這一階段的智力活動(dòng)離開(kāi)了活動(dòng)的物質(zhì)和物質(zhì)化的客體而逐步轉(zhuǎn)向頭腦內(nèi)部，學(xué)生通過(guò)自己的言語(yǔ)指導(dǎo)而進(jìn)行智力活動(dòng)，通常表現(xiàn)為一邊操作一邊口中念念有詞。如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在這一步學(xué)生往往是一邊計(jì)算，口中一邊念：相同數(shù)位對(duì)位，從個(gè)位加起，個(gè)位滿十向十位進(jìn)1。很明顯，這時(shí)的計(jì)算過(guò)程是伴隨著對(duì)法則運(yùn)算規(guī)定的復(fù)述進(jìn)行的。在這一階段，學(xué)生出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)還會(huì)逐步向不出聲的外部言語(yǔ)活動(dòng)過(guò)渡，如兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算，在本階段的后期學(xué)生往往是通過(guò)默想法則規(guī)定的運(yùn)算步驟進(jìn)行計(jì)算的。這一活動(dòng)水平的出現(xiàn)，標(biāo)志著學(xué)生的活動(dòng)已開(kāi)始向智力活動(dòng)水平轉(zhuǎn)化。
（4）無(wú)意識(shí)的內(nèi)部言語(yǔ)階段。這是數(shù)學(xué)心智技能形成的最后的一個(gè)階段，在這一階段學(xué)生的智力活動(dòng)過(guò)程有了高度的壓縮和簡(jiǎn)化，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程達(dá)到了完全自動(dòng)化的水平，無(wú)需去注意活動(dòng)的操作規(guī)則就能比較流暢地完成其操作程序。如用簡(jiǎn)便方法計(jì)算45＋99×99＋54，在這一階段學(xué)生無(wú)需去回憶加法交換律和結(jié)合律、乘法分配律等運(yùn)算定律，就能直接先合并45和54兩個(gè)加數(shù)，然后利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即原式＝（45＋54）＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900，整個(gè)計(jì)算過(guò)程完全是一種流暢的自動(dòng)化演算過(guò)程。在這一階段，學(xué)生的活動(dòng)完全是根據(jù)自己的內(nèi)部言語(yǔ)進(jìn)行思考的，并且總是用非常簡(jiǎn)縮的形式進(jìn)行思考的，活動(dòng)的中間過(guò)程往往簡(jiǎn)約得連自己也察覺(jué)不到了，整個(gè)活動(dòng)過(guò)程基本上是一種自動(dòng)化的過(guò)程。
四、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)方法
1．?dāng)?shù)學(xué)操作技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)操作技能的基本方法是模仿練習(xí)法和程序練習(xí)法。前者是指學(xué)生在學(xué)習(xí)中根據(jù)老師的示范動(dòng)作或教材中的示意圖進(jìn)行模仿練習(xí)，以掌握操作的基本要領(lǐng)，在頭腦里形成操作過(guò)程的動(dòng)作表象的一種學(xué)習(xí)方法。用度量角的大小、測(cè)量物體的長(zhǎng)短、幾何圖形的作圖、幾何圖形面積和體積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中的圖形轉(zhuǎn)化等技能一般都可以通過(guò)模仿練習(xí)法去掌握。如推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算公式時(shí)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的操作技能就可模仿（人教版）教材插圖（如圖所示）的操作過(guò)程去練習(xí)和掌握。小學(xué)生的學(xué)習(xí)更多的是模仿老師的示范動(dòng)作，所以老師的示范對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)動(dòng)作技能的形成尤為重要。教師要充分運(yùn)用示范與講解相結(jié)合、整體示范與分步示范相結(jié)合等措施，讓學(xué)生準(zhǔn)確無(wú)誤地掌握操作要領(lǐng)，形成正確的動(dòng)作表象。所謂程序練習(xí)法，就是運(yùn)用程序教學(xué)的原理將所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)動(dòng)作技能按活動(dòng)程序分解成若干局部的動(dòng)作先逐一練習(xí)，最后將這些局部的動(dòng)作綜合成整體形成程序化的活動(dòng)過(guò)程。如用量角器量角的度數(shù)、用三角板畫垂線和平行線、畫長(zhǎng)方形等技能的學(xué)習(xí)都可以采用這種方法。用這種方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)動(dòng)作技能，分解動(dòng)作時(shí)注意突出重點(diǎn)，重點(diǎn)解決那些難以掌握的局部動(dòng)作，這樣可以有效地提高學(xué)習(xí)效率。
2．?dāng)?shù)學(xué)心智技能的學(xué)習(xí)方法。學(xué)生的心智技能主要是通過(guò)范例學(xué)習(xí)法和嘗試學(xué)習(xí)法去獲得的。范例學(xué)習(xí)法是指學(xué)習(xí)時(shí)按照課本提供的范例，將數(shù)學(xué)技能的思維操作程序一步一步地展現(xiàn)出來(lái)，然后根據(jù)這種程序逐步掌握技能的心智活動(dòng)方式。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算，課本幾乎都提供了計(jì)算的范例，學(xué)習(xí)時(shí)只需要根據(jù)范例有序地進(jìn)行計(jì)算即可掌握計(jì)算方法。如被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法的簡(jiǎn)便算法，課本安排了如下范例,學(xué)習(xí)時(shí)只需要明確范例所反映的計(jì)算程序和方法，并按照這種程序和方法進(jìn)行計(jì)算即可掌握被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法簡(jiǎn)便計(jì)算的技能。嘗試學(xué)習(xí)法是指在學(xué)習(xí)中主要由學(xué)生自己去嘗試探索問(wèn)題解決的方法和途徑，并在不斷修正錯(cuò)誤的過(guò)程中找出解決問(wèn)題的操作程序，進(jìn)而獲得數(shù)學(xué)技能。這是一種探究式的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)法，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)并運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算、解答復(fù)合應(yīng)用題、求某些比較復(fù)雜的組合圖形的面積或體積等技能都可以運(yùn)用這種學(xué)習(xí)方法去掌握。這種方法較多地運(yùn)用于題目本身具有較強(qiáng)探究性的變式問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)，如用簡(jiǎn)便方法計(jì)算1001÷12.5，由于學(xué)生在前面已經(jīng)掌握除法商不變性質(zhì)，練習(xí)時(shí)就可通過(guò)將除數(shù)和被除數(shù)部乘以8使除數(shù)變成100的途徑去實(shí)現(xiàn)計(jì)算的簡(jiǎn)便。嘗試學(xué)習(xí)法雖然有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問(wèn)題的能力，但耗時(shí)太多，學(xué)習(xí)時(shí)最好是將它和范例學(xué)習(xí)法結(jié)合起來(lái)，兩種學(xué)習(xí)方法互為補(bǔ)充，這樣數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)就會(huì)更加富有成效
生活中的數(shù)學(xué)
省市：河北省衡水市 學(xué)校班級(jí)：人民路小學(xué)六年級(jí)3班作者：李博康 指導(dǎo)教師：霍瓊
大千世界，無(wú)奇不有，在我們數(shù)學(xué)王國(guó)里也有許多有趣的事情。在生活中，無(wú)數(shù)件顯得十分麻煩、枯燥浪費(fèi)時(shí)間的事情，能不能用數(shù)學(xué)思維來(lái)分析一下，節(jié)省時(shí)間，讓事情變得十分有趣呢？當(dāng)然也可以。
事情 時(shí)間
穿衣服整理床鋪 二分鐘
洗臉?biāo)⒀?五分鐘
燒水 五分鐘
煮飯 三十分鐘
吃飯 十五分鐘
就以早上這段時(shí)間來(lái)說(shuō)吧;
乍眼一看，呀！不得了，一下子就要五十七分鐘，哪有這么長(zhǎng)時(shí)間，但是用數(shù)學(xué)的角度來(lái)看就不一樣啦！在煮飯的時(shí)候可不可以干些別的事情，當(dāng)然可以，反正也不誤事，這么一說(shuō)穿衣服整理床鋪、洗臉?biāo)⒀馈臅r(shí)間都可以省去啦，這樣一來(lái)，足足少了十二分鐘，當(dāng)然這只是簡(jiǎn)單的舉例，在生活中有很多這種例子，再比如說(shuō)，沏茶：
燒水（八分鐘） 洗水壺（一分鐘） 洗茶杯（二分鐘） 接水（一分鐘） 找茶葉（一分鐘） 沏茶（一分鐘）這道題與前一道差不多，可是在燒水前后必須做的事，不能放在燒水的八分鐘里，也就是說(shuō)接水，洗水壺、沏茶的三分鐘，不可以消掉，那么由此一算，需要十五分鐘。
當(dāng)然生活還不止這些，再舉一個(gè)例子，打電話，應(yīng)該所有人都熟悉，但這里面也有學(xué)問(wèn)。
假想一下，一個(gè)老師要通知一個(gè)學(xué)生，通知一個(gè)學(xué)生要一分鐘(不包括異常情況)，有人說(shuō)，很簡(jiǎn)單，十個(gè)人十?dāng)r兄分鐘，那就大錯(cuò)特錯(cuò)啦，請(qǐng)問(wèn)，第一分鐘通知一名學(xué)生，第二分鐘，老師再通知一名，那第一次通知的學(xué)生可不可以幫忙.?答;可以。以此類推，只需四分鐘，再把簡(jiǎn)蠢襲人數(shù)乘十，一百名，是不是很管用？
實(shí)際上，數(shù)學(xué)到處都是，只是要看看你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)檔和它，其實(shí)數(shù)學(xué)廣角對(duì)我們很有幫助，我們要好好利用。
“數(shù)學(xué)小論文”是讓學(xué)生以日記的形式描述他們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解決，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的一種書面寫作記錄。下面是我整理的關(guān)于小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)小論文，供大家參閱，希望對(duì)你的學(xué)習(xí)有幫助!
小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)小論文
“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也服務(wù)于生活。”數(shù)學(xué)，經(jīng)常從人們身邊走過(guò)，生活中人們都離不開(kāi)它，它為人們的生活作出了巨大的貢獻(xiàn)。在我們的班級(jí)中經(jīng)常要使用到數(shù)學(xué)，例如算單元平均分、統(tǒng)計(jì)校園電費(fèi)……等等數(shù)不勝數(shù)，和我們的生活息息相關(guān)。
有一次，我和爸爸媽媽去購(gòu)物，買過(guò)年吃的糖。超市里糖的花樣可多了，有脆皮糖15.80元一斤，牛皮糖10.50元一斤，牛奶糖8.00元一斤，酥酥糖23.9元一斤，巧克力糖21.9元一斤……但主要分為散稱和包裝。爸爸媽媽問(wèn)我：“兒子，你希望買什么糖呢?”我望著玲瑯滿目的“糖果世界”，不知如何抉擇是好，但我自幼喜好巧克力，所以我就選了巧克力糖。這時(shí)媽媽又給我出題了，他說(shuō)：“那兒子，你說(shuō)我們是買散稱的呢，還是買包裝的呢?”這我就摸不著頭腦了，立即心算起來(lái)：散稱的巧克力糖21.9元一斤，包裝的則58.9一盒。散稱的巧克力糖一包才10克，包裝的巧克力糖一盒就有1000克呢!不過(guò)，單單看重量還不能決出勝負(fù)，就讓我仔細(xì)算算——其實(shí)算這個(gè)并不難，直接用1000克=1千克 1千克=2斤槐猛 58.9÷2=29.45(元) 29.45元>21.9元 所以散稱比包裝更劃算!我高興的把我得出的結(jié)果告訴媽媽，媽媽高興的點(diǎn)了點(diǎn)頭，夸我愛(ài)動(dòng)腦筋，因此我也就成為了媽媽的"小會(huì)計(jì)"。
在生活中，各式各樣的事情都能從一個(gè)普普通通毫不起眼的小事變成一個(gè)個(gè)生動(dòng)的數(shù)學(xué)題。我們常做的應(yīng)用題，就是在生活中取材，再稍加改編而成的題目。這不，我又在做數(shù)學(xué)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一道趣題：
大河上有一座東西向橫跨江面的橋，人通過(guò)需要五分鐘。橋中間有一個(gè) 亭子。亭子里有一個(gè)看守者，他每隔三分鐘出來(lái)一次。看到有人通過(guò)，就叫 他回去，不準(zhǔn)通過(guò)。有一個(gè)從東向西過(guò)橋的聰明人，想了一個(gè)巧妙的辦法， 終于通過(guò)了大橋。
我初看這道題，一點(diǎn)頭緒也沒(méi)有，難不成坐船過(guò)去?這是不可能的。難道走了一會(huì)往回走?唉，這好像行得通……
我經(jīng)過(guò)反復(fù)的計(jì)算，先想到了走到2分59秒的時(shí)候把頭轉(zhuǎn)回去，看守的人就會(huì)讓我往回走，這樣不就過(guò)去了嗎?后來(lái)又想了一會(huì)，得出只要在走了2分30秒至2分59秒的時(shí)候往回走(最好不要到2分59秒的時(shí)候走，因?yàn)榭赡苣氵€沒(méi)轉(zhuǎn)過(guò)頭來(lái)，看守的人就發(fā)現(xiàn)了。)，就可以成功過(guò)橋。
大家肯定都會(huì)說(shuō)這么容易的題誰(shuí)都會(huì)做，我拿出來(lái)吹噓什么?不，這樣子你就錯(cuò)了，我并沒(méi)鉛掘橋有在炫耀自己，我是在告訴大家數(shù)學(xué)在于聯(lián)系生活思考，在于全心全意去領(lǐng)悟，而不是拿著別人的成果炫耀。
小學(xué)數(shù)學(xué)論文可以怎么寫
數(shù)學(xué)小論文通過(guò)學(xué)生對(duì)生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察和發(fā)現(xiàn)，引起學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)貼近他們的生活，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感，激發(fā)起他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣;通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課堂中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐運(yùn)用，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效;通過(guò)探究趣味題和智慧題，開(kāi)拓學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。現(xiàn)結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際談?wù)剶?shù)學(xué)小論文的幾種具體寫法。
1.一道數(shù)學(xué)題的解答。主要是學(xué)生對(duì)某一道有挑戰(zhàn)性的題目簡(jiǎn)便的或與眾不同的解法(包括一題多解)。例如，書后的思考題，奧數(shù)題，教師或家長(zhǎng)布置的智慧題，數(shù)學(xué)刊物上的挑戰(zhàn)題，平時(shí)自己在做題時(shí)遇到的有一散改定難度的題目等。學(xué)生通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的解決，不但發(fā)展了思維，而且體驗(yàn)到一種強(qiáng)烈的成就感，這對(duì)他以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將是一個(gè)巨大的動(dòng)力。
2.用數(shù)學(xué)的眼光去分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。主要指學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、計(jì)算、分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，獲得一種理性的思考。比如，有學(xué)生寫道：如果每人每天節(jié)約1克水，那全國(guó)13億人口每天可以節(jié)約1300噸水，發(fā)出了“人人節(jié)約一滴水，沙漠也能變綠洲”的感慨!還有學(xué)生寫道：如果每個(gè)去銀行儲(chǔ)蓄的人每次都能為“希望工程”捐1角錢的話，全國(guó)那么多儲(chǔ)蓄點(diǎn)捐到的錢可以資助多少貧困學(xué)生實(shí)現(xiàn)上學(xué)的夢(mèng)想呀!學(xué)生能從這些角度通過(guò)數(shù)學(xué)的計(jì)算去思考社會(huì)意義，它的價(jià)值就能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)數(shù)學(xué)研究本身。
3.生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。主要用來(lái)記錄學(xué)生在生活中遇到的感興趣并有親身體驗(yàn)的有關(guān)數(shù)學(xué)的情境記錄。寫這種數(shù)學(xué)小論文的題材特別多，比如，有學(xué)生寫到了人民幣為什么只有1元、2元、5元而沒(méi)有3元、4元、6元、7元、8元、9元的;再如，有學(xué)生寫到了他家住的樓房每層有24級(jí)樓梯，那么他從1樓到5樓要爬多少級(jí)樓梯。這些都是生活中每天要經(jīng)歷的很平常的事，但學(xué)生一旦用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察和思考這些看似平常的生活問(wèn)題，就在數(shù)學(xué)和生活之間架起了一座橋梁，能夠感受到生活中處處有數(shù)學(xué)。
4.課堂上的數(shù)學(xué)問(wèn)題。主要指學(xué)生在課堂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中自己的一些思考和發(fā)現(xiàn)。這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有幫助，比如，有個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)畫三角形的高時(shí)，發(fā)現(xiàn)書上介紹了銳角三角形和直角三角形的三條高，而鈍角三角形只介紹了一條高。她在課后通過(guò)自己的思考和嘗試，畫出了鈍角三角形的另外兩條高，在得到老師的肯定后，欣喜萬(wàn)分，連忙寫下了《我發(fā)現(xiàn)了鈍角三角形的另外兩條高》這篇數(shù)學(xué)小論文。
5.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中遇到的問(wèn)題。主要指學(xué)生通過(guò)自己親自動(dòng)手實(shí)踐，在實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的疑惑、獲得的啟示和得到的結(jié)論等。比如，有個(gè)學(xué)生在教師還沒(méi)有上實(shí)踐活動(dòng)課“可能性”之前，自己看書并根據(jù)書上的內(nèi)容用紅、藍(lán)鉛筆去摸，自己動(dòng)手去探索并驗(yàn)證規(guī)律，事后寫了一篇心得體會(huì)，寫出了她在動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程中的想法和體會(huì)，讓她覺(jué)得其樂(lè)無(wú)窮。
6.數(shù)學(xué)童話。主要指學(xué)生發(fā)揮豐富的想象力，用童話的形式(其中包含著數(shù)學(xué)論述)來(lái)記錄看到的數(shù)學(xué)世界。這是語(yǔ)文學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科一種很好的整合，那種獨(dú)特的視角，生動(dòng)的語(yǔ)言描述，讓教師耳目一新。
