目錄余數(shù)性質(zhì)及同余定理 同余的概念和性質(zhì) 小學(xué)奧數(shù)同余定理例題 小學(xué)數(shù)學(xué)同余定理的內(nèi)容 小學(xué)同余定理的經(jīng)典例題
數(shù)論
1. 奇偶性問題
奇+奇=偶 奇×奇=奇
奇+偶=奇枝彎 奇×偶=偶
偶+偶=偶 偶×偶=偶
2. 位值原則
形如：abc =100a+10b+c
3. 數(shù)的整除特征：
整除數(shù)特征
2 末尾是0、2、4、6、8
3 各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)
5 末尾是0或5
9 各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)
11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)
4和25 末兩位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)
8和125 末三位數(shù)是8(或125)的.倍數(shù)
7、11、13 末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7(或11或13)的倍數(shù)
4. 整除性質(zhì)
① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③轎搭行 如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。
5. 帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b≠0),那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0≤r
當r=0時，我們稱a能被b整除閉嘩。
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r
6. 唯一分解定理
任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理
設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數(shù)和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
②若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。
③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9.完全平方數(shù)性質(zhì)
①平方差： A -B =(A+B)(A-B)，其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。
②約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
④平方和。
10.孫子定理(中國剩余定理)
11.輾轉(zhuǎn)相除法
12.數(shù)論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計
3的1次方尾數(shù)=3
3的2次嫌凱方尾數(shù)=9
3的3次方尾數(shù)=7
3的4次方尾數(shù)=1
3的次方芹判喚尾數(shù)是以3、9、7、1 作為循環(huán)的
89÷4=22....1
所以143的89次方的尾數(shù)是3
因為143的89次方除以七的余數(shù)應(yīng)該是=13-7=6
就是你任意一個大于7且沖攔不能被7整除的數(shù)字 且個位數(shù)字小于4的，最后的余數(shù)肯定是它的個位數(shù)字+10-7
11÷7=1....4
13÷7=1....6
(1)在1500至8000之間能同時被12，18，24，42四個數(shù)整除的自然數(shù)共有（13 ）個。
先求出12\18\24\42四個數(shù)的最小公倍數(shù)為504，那么在1500-8000之間能同時被12\18\24\42四個數(shù)整除的自然數(shù)必然為504的倍數(shù)，則可設(shè)符合條件的數(shù)字為504×N（N為整數(shù)），于是有：1500＜504×N＜8000；解此不等式得：2.98＜N＜15.87，所以N可取的值有：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15，共計13個。
（2）有一整數(shù)，除300，262，205得到的余數(shù)相同，這個整數(shù)是（19 ）。
根據(jù)同余定理，這個數(shù)一定是38，57，95這3個數(shù)的公約數(shù)此孝
（3）某數(shù)用3除余2，用7除余4，用11除余1，滿足這些條件的最小自然數(shù)是（221 ）。
中國剩余定理（或者叫孫子點兵）問題
1）找到能被3,7整除，且除以11余1的最小數(shù)，為：
3×7×10=210
2）找到能被3,11整除，且除以7余4的最小數(shù)，為：
3×11×5=165
3）找到能被7,11整除，且除以3余2的最小數(shù)，為：
7×11=77
4）把找到的三個最小數(shù)求和，為：
210+165+77=452
5）求出3,7,11的最小公倍數(shù)，為：
3×7×11=231
6）把求出的和與最小公倍數(shù)比較，如果和大于最小公倍數(shù)，就減去最小公倍數(shù)
可以重復(fù)進行，直到結(jié)果小于最小公倍數(shù)
452-231=221＜231
221就是滿足要求的最扒扒盯小數(shù)，所以=221
（4）某數(shù)去除74、109和165，所得的余數(shù)相同，139與5612的積除以這個數(shù)余（2 ）。
根據(jù)同余定理，這個數(shù)一定是35，56，91的公約數(shù)，所以這個數(shù)是7，139除以7余6，5612除以7余5，所以 139與5612的積除以這個數(shù)7余5x6=30. 除以7余2
（5）有一個數(shù)除以3余2，除以4余1，這個數(shù)除以12余（5 ）。
這個太簡單了，你自己看吧
（6）乙數(shù)除甲數(shù)商3余8，若甲數(shù)擴大5倍，商正好是19，甲數(shù)是（38 ），乙數(shù)是（10 ）。
甲數(shù)是x,乙數(shù)是y
x=3y+8
5x=19y
解方程組得：
x=38
y=10
甲數(shù)是38,乙數(shù)是10
（7）一個三位數(shù)被37除余17，被36除余3，這個三位數(shù)是（831 ）。
37×a+17=36×b+3
37a+14=36b
嘗試且a為偶數(shù)
所已a=22時，b=23
所以這三位數(shù)為831
（8）十個自然數(shù)之和等于1001，這十個自然數(shù)的最大公約數(shù)可能取的最大值是（91 ）。
1001＝7×11×13＝91×11
這十個自然數(shù)的最大公約數(shù)的最大值是91.
（9）把 l，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)依不同的次序排列，可以得到362880個不同的九位數(shù)，所有這些九位數(shù)的最大公約數(shù)是（9 ）。
1＋2＋…＋9＝45，根據(jù)被9整除特征判斷，因而9是這些數(shù)的公約數(shù)。
（10）已知三個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是360，這三個數(shù)是（8，9，10 ）。
設(shè)3個連續(xù)自然數(shù)為 n-1n, n+1
因為3個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)為360
當?shù)谝粋€數(shù)n-1為奇數(shù)時
(n-1)*n*(n+1)=360
n^3-n=360
n沒整數(shù)解
當n-1為偶數(shù)時
因為n-1和n+1都是偶數(shù)最小公春和倍數(shù)約去了個2
所以最小公倍數(shù)為360×2=720
所以(n-1)*n*(n+1)=360*2
n^3-n=720
n=9
所以連續(xù)3個自然數(shù)為 8,9,10.
（11）三個互不相同的自然數(shù)之和為370，它們的最小公倍數(shù)最小能夠是（222 ）。
設(shè)3個數(shù)從小到大分別為AX,BX,CX,其中X是他們的最大公因數(shù)。
有AX+BX+CX=370
(A+B+C)*X=370
因A 又根據(jù)370的因數(shù)得知： (A+B+C)*X=370=10*37=37*10=370*1 AX,BX,CX的最小公倍數(shù)=(A、B、C)的最小公倍數(shù)*X 當A+B+C=10，X=37時， (A、B、C)的最小公倍數(shù)的最小值6，當A=1,B=3,C=6 AX,BX,CX的最小公倍數(shù)的最小值=6*37 = 222 當A+B+C=37，X=10時， (A、B、C)的最小公倍數(shù)的最小值24，當A=1,B=12,C=24 AX,BX,CX的最小公倍數(shù)的最小值=24*10 =240 當A+B+C=370，X=1時， (A、B、C)的最小公倍數(shù)的最小值246，當A=1,B=123,C=246 AX,BX,CX的最小公倍數(shù)的最小值246*1 =246 綜上所述，當A=1,B=3,C=6，即三個自然數(shù)分別等于37、11、222時， 有最小的公倍數(shù)222。 （12）一個數(shù)減去1能被2整除，減去2能被5整除，減去3能被7整除，加上4能被9整除，這個數(shù)最小是（437 ）。 由一個數(shù)減去1能被2整除,可知此數(shù)為奇數(shù) 由減去2能被5整除可知，此數(shù)個位是7 減去3能被7整除,即加上4能被7整除 又加上4能被9整除 所以此數(shù)是7，9的倍數(shù)減4 即63n-4 63n-4的個位是7 所以這個數(shù)最小是63x7-4=437 （13）已知數(shù)A有12個約數(shù)，數(shù)B有10個約數(shù)，且A、B兩數(shù)只含有質(zhì)因數(shù)3和5，A、B的最大公約數(shù)是75，A是（675 ），B是（1875 ）。 根據(jù)約數(shù)個數(shù)定理，A=33x52 B=3乘以5的4次方 （14）有四個不同的自然數(shù)，它們的和是1991。如果要求這四個數(shù)的最大公約數(shù)盡可能的大，這四個數(shù)中最大的那個數(shù)是（905 ）。 將1991進行分解,1991=11*181 1、先得出這四個數(shù)的最大公約數(shù)是181。為什么呢？假如還有更大的公約數(shù)k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=(a+b+c+d)k(k>181，a,b,c,d為正整數(shù)且都不等),由于1991=11*181，k>181，可以得到a+b+c+d<11,但在小于11的正整數(shù)中，除了1以外，沒有數(shù)能整除1991。所以這四個數(shù)的最大公約數(shù)是181。 2、求出這四個不同的自然數(shù)中最大的為905。怎么求？把11分解成4個不相等的正整數(shù)的和，要使其中一個達到最大，則其它三個要盡可能的小。必須這樣分： 11=1+2+3+5則 1995=181+2*181+3*181+5*181 其中最大數(shù)就是5*181=905 （15）已知兩個合數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是143，這兩個合數(shù)是（33和44 ）或是（26和65 ）。 設(shè)這兩個數(shù)的最大公約數(shù)為p。則這兩個數(shù)分別是np和mp，由于這兩個數(shù)都是合數(shù)，所以n與m互質(zhì)且均大于1。他們的最小公倍數(shù)為nmp，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和p+nmp=p(1+nm)=143。由于143=11X13，所以最大公約數(shù)為11、13或1。 如果最大公約數(shù)為11，那么最小公倍數(shù)為143-11=132，nm=12=3X4 這兩個數(shù)分別是3X11=33和4X11=44 如果最大公約數(shù)為13，那么最小公倍數(shù)為143-13=130，nm=10=2X5 這兩個數(shù)分別是2X13=26和5X13=65 如果最大公約數(shù)為1，那么最小公倍數(shù)是143-1=142=2X71 這兩個數(shù)分別是2和71。但由于他們均非合數(shù)，不符合題意，所以舍去。 數(shù)論中的重要概念。給定一個正整數(shù)m，如果兩個整數(shù)a和b滿足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就稱整數(shù)a與b對模m同余，記作a≡b(mod m)。對模m同余是整數(shù)的一個等價關(guān)系。 1 反身性 a≡a (mod m) 2 對稱性 若a≡b(mod m)，則b≡a (mod m) 3 傳遞性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，則a≡c (mod m) 4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則a+-c≡b+-d (mod m) 5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡bd (mod m) 【滾桐叢證明】上述性質(zhì)很容易證明,下面僅證明(3). ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c), ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c). 故a≡c(mod m). 4 線性運算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m) 【證明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d) ∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)] ∴a ± c ≡ b ± d (mod m) (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d) 又 m|(a-b) , m|(c-d) ∴m|(ac-bd) ∴a * c ≡ b * d (mod m) 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c1=0 則 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公約數(shù) 特殊地 (c,m)=1 則a ≡ b (mod m) 6 乘方如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m) 7 若a ≡ b (mod m)，n|m,則 a ≡ b (mod n) 8 若a ≡ b (mod mi）輪絕 i=1,2...n 則 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍數(shù) 9 歐拉定理 設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(φ(m))≡1(mod m) (注:φ(m)指模m的簡系個數(shù)， φ(m)=m-1, 如果m是素數(shù)；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi)) 推論: 費馬小定理: 若p為質(zhì)數(shù)，則a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p) （但是當p|a時不等價） 10 中國剩余定理 設(shè)整數(shù)m1,m2,m3,......,mn 兩兩互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的連乘）。則對于任意的J在（1,n)整數(shù)，下列聯(lián)立的同余式有解大櫻： 小學(xué)奧數(shù)沒告一般是：工程問題，分數(shù)握察態(tài)問題，簡單幾何圖形的面積，周長，體積計算，差倍問題，行程問題，生活中的計算題，簡單的邏輯推理題……建議買一本《小學(xué)奧段源數(shù)全解》，這本書很全面的解答了小學(xué)所有重點問題小學(xué)數(shù)學(xué)同余定理的內(nèi)容
小學(xué)同余定理的經(jīng)典例題
