目錄羅爾定理的推論證明 羅爾原話證明 羅爾中值定理證明二次求導 質心公式考研 張宇羅爾定理證明
構造輔助函數，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)
我們目的是，證明F（x）在三個不同的點是取相同的值的，
從而可用羅爾定理證F’（x）有兩個不同的零點
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點
想想這道題有過哪些特液擾殊點，
我們通過第一題已知f（η）=0，那么很容易想到，讓F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，
還有沒有點0？
這題有一個陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
極限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×無窮小=0
（其實不難理解，f(x)必須是x的同階無窮小，哪怕找個唯尺f(x)=x驗證下也就不會錯得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0
前面我們兩個F(x)=0都是用了f(x)=0，f’(x)還沒用到，一般地，題目會讓f’(x)也能得0
因為f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因為F(0)= F(ξ)=0,故有F’（a）=0，a∈(0,ξ)包含于（0,1）
因為F(ξ)= F(η)=0,故有F’（b）=0，b∈(ξ,η)包含于（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點a,b∈（0,1）鬧山旦
從我研究的歷年真題中不難看出，考研數學考試大綱（數學一、數學二、數學三）近五凳遲年沒有任何變
化，這說明考研命題的規律依然延續往年的原則，不會出現偏題、怪題、超綱題目，仍然以考察基本概念、
基本理論和基本方法為主，所以按照海文老師給出的學習計劃按部就班地放心復習，努力就一定會有更大
的收獲，更好的成績。
與中值相關的證明題是歷年考研試題中的重點也是難點，得分率不高，考生對具體定理的條件結論能
看明白，但是做題的時候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具體的知識點和考題結合起來，不會歸
納其中的常考題型，這里我們萬學教育海文考研的數學老師將要重點介紹與中值相關的證明題的處理手
法，以期起到舉一反三的作用。根據我們的統計分析，微分中值定理的三大定理中，羅爾定理、拉格朗日
定理考查頻繁，而柯西中值定理考查相對較少，一般數學一、數學二更容易考查。首先，我們對比分析一
下它們的條件、結論與可命題角度。
先來看羅爾定理，羅爾定理的條件是閉區間上連續，開區間內可導，端點值相等，結論是至少存在一
點，使得，即導函數有零點，從結論上就可以看出來羅爾定理可以用來證明導函數有
零點。羅爾定理有三個可命題角度：1.證明：或者，2.證明：
，3.導函數零點個數的討論。
再來看第二個重要的定理-拉格朗日中值定理，它的條件是閉區間上連續，開棗液李區間內可導，結論是至
少存在一點，使得。下拉格朗日中值定理也有三個可命題角度，1.含有端點
值中值等式的證明，2.不等式的證明（出現函數值之差），3.討論函數有界性。
最后咱們簡單地看一下柯西中值定理，條件是閉區間上連續，開區間內可導，,結論是至少
存在一點，使。柯西中值定理主要是用來證明含有中值的等式
。它與羅爾以及拉格朗日中值定理有一個很好區
分的特征——包含兩個函數。
現在給大家講了三個中值定理的條件、結論以及可命題的角度，那么考生們在做題過程中會遇到什么
樣的困難呢？主要有三點，第一點：定理的選擇。要證明一個含有中值的等式，到底是用羅爾定理？拉格
朗日中值定理？還是柯西？第二點：輔助函數的構造。我們在證明含有中值的等式時，往往需要構造輔助
函數，如何構造輔助函數也是一個難點。第三點：條件的驗證。比如說要用羅爾定理證明導函數有零點，
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此時要保證函數在區間內有兩點的函數值相同，這兩點不一定是端點，如何找到這兩點比較困難。
首先，定理的選擇有賴于對定理的深入了解，我們前面的陳述已經是初露端倪。根據條件、結論的不
同以及問題的難易程度，我們推薦如下次序：對于結論中不含端點信息的題目，我們考慮羅爾定理，對于
結論中含有端點信息的題目，我們首先考慮用拉格朗日中值定理，先構造一個輔助函數試驗一下，如果得
不到所需結果，再考慮用柯西中值定理（如果條件中明顯出現兩個不同函數，或者某個函數的導數非0，
則首選柯西中值定理）。對于較少考到的“雙中值問題”（結論中出現兩個中值），一般考慮用兩次拉
格朗日中值定理或者柯西中值定理。
其次，輔助函數的構造有如下常用手段。1.觀察聯想法。我們可以通過觀察所要證明等式的形式,看
它是否與我們常見的函數導數公式相似或相同，當兩者相似或相同時,我們可以立即聯想到導數公式左端括
號內的函數就是我們所要構造的輔助函數；當不相似的時埋缺候，我們考慮加個因子，變成相似。加的因
子多為指數函數和冪函數.這是幾個常見的形式：
2.原函數法。當出現與等有關的等式時，我們把結論中的換成后，經過適當恒等變形
（通分、十字交叉相乘、移項等）使等式右端為0,通常等式左端即為所要構造的函數導函數。
在很多情況下，我們對等式左端進行積分就可以得到輔助函數，我們再驗證輔助函數是否滿足微分中
值定理的條件，這就是原函數法，也稱積分構造法.。
3.K值法。當我們要證明含有或且含有端點的等式時，常可以把含有的式子設
為，通過恒等變形（通分、交叉相乘、移項等）使得等式的右端為零，把等式中右端點換成，等式
左端的式子即為輔助函數，這就是k值法。
早我看來，只要大家把握微分中值定理的條件、結論與常考題型，多做有代表性的相關習題，時常
回顧總結，一定能突破考研數學中的重難點。
構造函數證明拉格朗日定理如下：
拉格朗日中值定理是考研數學復習的重點，經常出現在證明題中，是考研數學的重點和難點。2009年的考研數學(包括數一、數二、數三)真題中的一道證明題中的第一問甚至要求證明該定理。
下面文都考研數學教研老師結合該真題，給出該定理的三種證明思路，希望能幫助同學們掌握和利用該定理。
首先，我們一起看一下該定理：
(拉格朗日中值定理)
然后，我們一弊御起學習三種具體的證明方法：
1、原函數構造法
下面給出具體的證明過滑則程：
2、作差構造函數法
該法也主要利用羅爾定理證明，只是函數構造方法與1有所不同，下面給出具體的證明過程：
2018考研數學:拉格租讓巖朗日中值定理的三種證明方法
3、行列式法
考研數學復習
上述三種方法都是基于羅爾定理證明的，主要是構造出一個滿足羅爾定理的函數。拉格朗日中值定理的證明方法，同學們務必要牢牢掌握至少一種。另外，同學們在做與拉格朗日中值定理相關的證明題時，可以借鑒上述三種方法來構造函數。
從拉格朗日中值定理的證明方法中，我們也會發現數學的方法多種多樣，不拘泥于一種形式。所以，在平時的做題過程中，同學們要靈活多變，注意選用適合的方法解決題目。
羅爾（Rolle）定理
如果函數f(x)在閉讓跡區間[a,b]上連續,在開區鋒碰間(a,b)內可導,且在區間端坦基并點的函數值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)內至少有一點ζ（a
可以，樓上幾位證的啥呀，還泰勒公式，命題12345，就是rolle定理推論啊，這都不會？
反證法：假如n階導數有k個零點，假設n-1個導數有大于k+1個零點，不御信妨假設有k+2個零點，那么由rolle定理，n階導數則有侍拿k+1個不同的零點，矛盾，故n-1階導數至多k+1個零點。
然后遞推老拆搭，證完了。
